यदि रेखा x+y+1=0 वृत्त x^2+y^2+x+3y=0 को दो ब | vedclass

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Question

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है। माना $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ है। स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा द

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$\left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$

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(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है। माना $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ है। स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है: $xh + yk + \frac{x+h}{2} + 3\left(\frac{y+k}{2}\right) = 0$ $x\left(h+\frac{1}{2}\right) + y\left(k+\frac{3}{2}\right) + \frac{h+3k}{2} = 0$. इसे दी गई रेखा $x+y+1=0$ के साथ तुलना करने पर: $\frac{h+1/2}{1} = \frac{k+3/2}{1} = \frac{(h+3k)/2}{1}$. $h+1/2 = k+3/2$ से,हमें $h-k=1$ प्राप्त होता है। $h+1/2 = (h+3k)/2$ से,हमें $2h+1 = h+3k$ प्राप्त होता है,यानी $h-3k = -1$. इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $k=1$ और $h=2$ प्राप्त होता है। अतः $P=(2, 1)$ है। $A$ और $B$ से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $x^2+y^2+x+3y + \lambda(x+y+1) = 0$ है। चूंकि यह वृत्त $P(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $4+1+2+3 + \lambda(2+1+1) = 0$,जो $10 + 4\lambda = 0$ देता है,अतः $\lambda = -5/2$. वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+x+3y - \frac{5}{2}(x+y+1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x^2+y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{5}{2} = 0$ प्राप्त होता है। इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{-3/2}{2}, -\frac{1/2}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}\right)$ है।

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