दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ $4$ और $8$ हैं,समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनकी उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई क्या है?

$5x^2-xy-5x+y=0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ एक वृत्त $S=0$ के अभिलंब हैं। यदि यह वृत्त,वृत्त $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,तो $S=0$ के सापेक्ष $S^{\prime}=0$ के केंद्र की स्पर्श जीवा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $5x + y + 1 = 0$ द्वारा वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ को काटने वाले बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b)$ है,तो $5a + b =$

यदि $P$ और $Q$ वृत्तों $x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $P, Q$ और $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाला वृत्त किस मान के लिए होगा?

दो वृत्तों $C_1: x^2+y^2=25$ और $C_2: (x-\alpha)^2+y^2=16$ पर विचार करें,जहाँ $\alpha \in (5, 9)$ है। मान लीजिए कि $C_1$ और $C_2$ के एक प्रतिच्छेदन बिंदु से खींची गई दो त्रिज्याओं के बीच का कोण $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ है। यदि $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $\beta$ है,तो $(\alpha \beta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$P(4,4)$ से वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-2y-7=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं और $S=0$ के सापेक्ष $P$ की स्पर्श जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है