જો રેખા $\alpha x+2y=1$, જ્યાં $\alpha \in \mathbb{R}$, અતિવલય $x^{2}-9y^{2}=9$ ને મળતી ન હોય, તો $\alpha$ ની શક્ય કિંમત કઈ છે?

પ્રથમ ચરણમાં એક અરીસો $xy=1$ સમીકરણ ધરાવતા અતિવલય (hyperbola) આકારનો છે. બીજા ચરણમાં રહેલો પ્રકાશનો સ્ત્રોત પ્રકાશનું કિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે જે અરીસાને $(2, 1/2)$ બિંદુએ અથડાય છે. જો પરાવર્તિત કિરણ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો આપાત કિરણનો ઢાળ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવા હોય કે જેનું કેન્દ્ર $C$ છે અને $CP$ એ $CQ$ ને લંબ છે,જ્યાં $a < b$,તો $\frac{1}{(CP)^2} + \frac{1}{(CQ)^2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = 9$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 9$ ની સ્પર્શ જીવા હોય,તો અનુરૂપ સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ શું થાય?

અતિવલય $4x^2 - 9y^2 = 36$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે, અને $P$ તથા $Q$ એ લંબવૃત્તીય અતિવલય $xy = 12$ પરના બે બિંદુઓ છે, જેથી રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ છે. તો ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?