જો $MATHEMATICS$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં પુનરાવર્તિત અક્ષરો સાથે ન હોય તે $90(X)$ હોય,તો $X=$

જો ${}^n C_{r-1}=36$, ${}^n C_r=84$, અને ${}^n C_{r+1}=126$ હોય, તો ${}^n C_8$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન-$1$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$ અંકોની સંખ્યાઓ કે જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તેની સંખ્યા $200$ છે.
વિધાન-$2$: જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ $n$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેમાંથી $p$ ધન છે અને બાકીની ઋણ છે. $j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ધન હોય,તે $55$ છે. તેવી જ રીતે,$j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ઋણ હોય,તે $50$ છે. તો,$p^2 + (n-p)^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $S$ એ $0, 1$ અને $2$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી તમામ સાત-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,$2210222$ એ $S$ માં છે,પરંતુ $0210222$ એ $S$ માં નથી. તો $S$ માં એવા ઘટકો $x$ ની સંખ્યા કે જેમાં $0$ અને $1$ અંકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક અંક બરાબર બે વાર આવે,તે $....$ ની બરાબર છે.

$'UNIVERSITY'$ શબ્દના તમામ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનતા એવા શબ્દોની સંખ્યા શોધો જે સ્વરથી શરૂ કે અંત થતા ન હોય અને જેમાં તમામ સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં હોય.