यदि परवलय x^{2}=ay रेखा y-2x=1 पर sqrt{40} इक | vedclass

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Question

(A, B) दिया गया परवलय का समीकरण $x^{2}=ay$ है, जिसका अर्थ है $y=\frac{x^{2}}{a}$।रेखा का समीकरण $y=2x+1$ है।परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $\

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$-2$

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(A, B) दिया गया परवलय का समीकरण $x^{2}=ay$ है, जिसका अर्थ है $y=\frac{x^{2}}{a}$।रेखा का समीकरण $y=2x+1$ है।परवलय के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $\frac{x^{2}}{a}=2x+1 \Rightarrow x^{2}-2ax-a=0$।माना मूल $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। तो $x_{1}+x_{2}=2a$ और $x_{1}x_{2}=-a$।अंतर $|x_{1}-x_{2}| = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4a^{2}+4a} = 2\sqrt{a^{2}+a}$।चूंकि बिंदु $y=2x+1$ पर स्थित हैं, $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ है।चूंकि $y_{2}-y_{1} = 2(x_{2}-x_{1})$, इसलिए $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+4(x_{2}-x_{1})^{2}} = |x_{2}-x_{1}|\sqrt{5}$।दिया गया है कि $d=\sqrt{40}$, इसलिए $\sqrt{40} = 2\sqrt{a^{2}+a} \cdot \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{40} = \sqrt{20(a^{2}+a)}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $40 = 20(a^{2}+a) \Rightarrow a^{2}+a-2=0$।$(a+2)(a-1)=0$, इसलिए $a=1$ या $a=-2$।

यदि परवलय $x^{2}=ay$ रेखा $y-2x=1$ पर $\sqrt{40}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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