જો બિંદુઓ $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(a, 2)$ અને $D(-4, -3)$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે,તો $a$ ની કિંમત અને $AB$ ને પાયો લઈને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ શોધો.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
તેથી,$a$ ની કિંમત $-3$ છે.
$AB$ ને પાયો લેતા,ધારો કે $DP$ એ ઊંચાઈ છે જ્યાં $P$ એ $D$ માંથી $AB$ પર દોરેલો લંબ છે.
$(1, -2)$ અને $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = 5$ છે. $DP \perp AB$ હોવાથી,$DP$ નો ઢાળ $m_2 = -1/5$ થશે.
$D(-4, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $-1/5$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $DP$ નું સમીકરણ:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
છેદબિંદુ $P$ માટે $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$. ઊંચાઈ $DP$ એ $D(-4, -3)$ અને $P(8/13, -51/13)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ એકમ.