यदि आव्यूहों $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & -8 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्रमशः $r_1$ और $r_2$ है,तो $r_1 - r_2 =$

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है, तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $a, b$ और $c$ क्रमशः $A, B$ और $C$ की कोटि (Rank) को दर्शाते हैं, तो इन संख्याओं का सही क्रम क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
$1$. यदि $A$ एक $5 \times 5$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $A$ की कोटि (rank) $5$ से कम है।
$2$. यदि $P$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ की कोटि $1$ है।
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ की कोटि $2$ है।
$4$. यदि रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ भिन्न हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि $3$ है।

एक आव्यूह $A$ में,यदि $k$ कोटि के सभी उप-आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) हैं और $r$ $(r < k)$ कोटि का कम से कम एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह मौजूद है,तो आव्यूह $A$ की कोटि $(\rho)$:

यदि $f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} mx & mx - p & mx + p \\ n & n + p & n - p \\ mx + 2n & mx + 2n + p & mx + 2n - p \end{array} \right|$ है,तो $y = f(x)$ क्या दर्शाता है?