यदि द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल काल्पनिक हैं,तो $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए,व्यंजक $3a^2x^2+6abx+2b^2$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_7$ समीकरण $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ के मूल हैं और $|\alpha_1| \geq |\alpha_2| \geq \ldots \geq |\alpha_7|$ है। तो $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6$ का मान $..................$ है।

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं। नीचे दी गई सूचियों का अवलोकन करें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(i)$ $\alpha = \beta$	$(A)$ $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii)$ $\alpha = 2\beta$	$(B)$ $2b^2 = 9ac$
$(iii)$ $\alpha = 3\beta$	$(C)$ $b^2 = 6ac$
$(iv)$ $\alpha = \beta^2$	$(D)$ $3b^2 = 16ac$
	$(E)$ $b^2 = 4ac$
	$(F)$ $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

सूची-$I$ का सूची-$II$ के साथ सही मिलान है:

समीकरण $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ के मूल हैं

यदि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है,जिसके लिए समीकरण $7x^2 - 13x + a = 0$ के मूल परिमेय संख्याएँ हैं,तो $a$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

मान लीजिए कि $S$,अंतराल $(-3, 7)$ में $\lambda$ के उन सभी संभावित पूर्णांक मानों का समुच्चय है जिनके लिए द्विघात समीकरण $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ के मूल परिमेय संख्याएँ हैं। तो $S$ के तत्वों का योग क्या है?