જો વિકલ સમીકરણ x y^{prime}=y+x^2 sin x નો ઉકે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ વડે ભાગતા, આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.આ $\frac{y}{x}$ નું

Vedclass · Accepted Answer

$\alpha=\cot \frac{\alpha}{2}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d y}{d x} - y = x^2 \sin x$.$x^2$ વડે ભાગતા, આપણને મળે $\frac{x \frac{d y}{d x} - y}{x^2} = \sin x$.આ $\frac{y}{x}$ નું વિકલન છે, તેથી $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x} ight) = \sin x$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{y}{x} = -\cos x + c$.આપેલ છે કે $y(\pi) = 0$, તેથી $\frac{0}{\pi} = -\cos(\pi) + c \Rightarrow 0 = 1 + c \Rightarrow c = -1$.આમ, $y = -x \cos x - x$.$x = \alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય માટે, આપણે $\frac{d y}{d x} = 0$ લઈએ.$\frac{d y}{d x} = -(\cos x - x \sin x) - 1 = -\cos x + x \sin x - 1 = 0$.$x = \alpha$ આગળ, $\alpha \sin \alpha - \cos \alpha - 1 = 0$.ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\alpha (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}) - (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 0$.$2 \cos \frac{\alpha}{2} (\alpha \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0$.$\cos \frac{\alpha}{2} 
eq 0$ હોવાથી, $\alpha \sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \cot \frac{\alpha}{2}$.

જો વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime}=y+x^2 \sin x$ નો ઉકેલ $y(\pi)=0$ શરતને આધીન $y=f(x)$ હોય અને $f(x)$ ને $x=\alpha$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય (extreme value) હોય, તો

Similar Questions

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \geq 1$ માટે $10 \int_1^{x} f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$ હોય,તો $f(3)$ નું મૂલ્ય શોધો:

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ માટે,જો $y(1) = 1$ હોય,તો $x = $ શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow [2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1)=2$. જો $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ એ દરેક $x \geq 1$ માટે સત્ય હોય,તો $f(2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \neq 0$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module