જો સમીકરણોની સંહતિ $x + 2y - 3z = 1$,$(k + 3)z = 3$,અને $(2k + 1)x + z = 0$ સુસંગત ન હોય (inconsistent),તો $k$ ની કિંમત શોધો:

બે ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ના દળનો ગુણોત્તર $3 : 1$ છે અને તેઓ અનુક્રમે $r$ અને $4r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. $A$ અને $B$ ની કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર શોધો.

બે કામદારો $A$ અને $B$ ને એક કામ કરવા માટે રોકવામાં આવ્યા છે. એકલા કામ કરતા,$A$ ને બંને સાથે મળીને કામ કરે તેના કરતા $8 \text{ h}$ વધુ સમય લાગે છે. બીજી તરફ,એકલા કામ કરતા,$B$ ને બંને સાથે મળીને કામ કરે તેના કરતા $4 \frac{1}{2} \text{ h}$ વધુ સમય લાગે છે. જો તેઓ સાથે મળીને કામ કરે તો તેમને કામ પૂરું કરવામાં કેટલો સમય લાગશે ($\text{ h}$ માં)?

$3\;cm$ બાજુવાળો એક ચોરસ $10\;cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ અરીસાથી $25\;cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. ચોરસનું કેન્દ્ર અરીસાની અક્ષ પર છે અને સમતલ અક્ષને લંબ છે. ચોરસના પ્રતિબિંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $......\;cm^2$ છે.

$\triangle ABC$ માં,જો $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$ હોય,તો ત્રિકોણની બાજુઓ શેમાં છે?

$1\,kg$ અને $3\,kg$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે. આ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ શોધો.