यदि वक्र $xy + ax + by = 0$ की $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\tan^{-1}(2)$ का कोण बनाती है,तो $\left( \frac{a + b}{ab} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी $x$ के मानों का समुच्चय है जिनके लिए वक्र $y = f(x) = x^3 - x^2 - 2x$ पर बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा,बिंदुओं $(1, f(1))$ और $(-1, f(-1))$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के समानांतर है। तो $S$ किसके बराबर है?

वक्र $2y + x^{2} = 3$ पर बिंदु $(1,1)$ पर अभिलंब है:

वक्रों $y=\sin x$ और $y=\cos x$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n \in (0, \infty)$ है। यदि $n$ के विभिन्न मानों के लिए सभी वक्रों $y = x^n \log x$ पर एक निश्चित बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा हमेशा $y = x - 1$ है,तो $\alpha + \beta =$

$f(x)$,$\mathbb{R}$ पर एक सतत फलन है और $y=f(x)$ एक वक्र है। यदि $(\alpha, \beta)$ एक ऐसा बिंदु है कि $\beta=f(\alpha)$ और $p\alpha+m\beta+n=0$ $(p \neq 0, m \neq 0)$,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?