यदि वक्र y = 1 - x^2 पर x = alpha पर स्पर्श र | vedclass

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Question

(A) माना $A_1$ वक्र $y = 1 - x^2$ और $0 < x < 1$ के लिए अक्षों के बीच का क्षेत्रफल है।$A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \

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$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $A_1$ वक्र $y = 1 - x^2$ और $0 $A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} ight]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$अब,वक्र $y = 1 - x^2$ के लिए,$x = \alpha$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y' = -2x$ है। $x = \alpha$ पर,$y' = -2\alpha.$$(\alpha, 1 - \alpha^2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (1 - \alpha^2) = -2\alpha(x - \alpha)$ है।$y - 1 + \alpha^2 = -2\alpha x + 2\alpha^2 \Rightarrow 2\alpha x + y = \alpha^2 + 1.$स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $P$ (जहाँ $y=0$) और $y$-अक्ष को $Q$ (जहाँ $x=0$) पर मिलती है।$P = \left( \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}, 0 ight)$ और $Q = (0, \alpha^2 + 1).$त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes OP 	imes OQ = \frac{1}{2} 	imes \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha} 	imes (\alpha^2 + 1) = \frac{(\alpha^2 + 1)^2}{4\alpha}.$न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करें:$A' = \frac{1}{4} \left[ \frac{2(\alpha^2 + 1)(2\alpha)(\alpha) - (\alpha^2 + 1)^2(1)}{\alpha^2} ight] = \frac{(\alpha^2 + 1)(4\alpha^2 - \alpha^2 - 1)}{4\alpha^2} = \frac{(\alpha^2 + 1)(3\alpha^2 - 1)}{4\alpha^2}.$$A' = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $0 न्यूनतम क्षेत्रफल $A = \frac{(\frac{1}{3} + 1)^2}{4(\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{(\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{16}{9} 	imes \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$दिया गया है कि $A = k A_1,$ इसलिए $\frac{4}{3\sqrt{3}} = k 	imes \frac{2}{3}.$$k = \frac{4}{3\sqrt{3}} 	imes \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$

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