જો સદિશો $\vec{\alpha}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$, $\vec{\beta}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$, અને $\vec{\gamma}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ એ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય, તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin x + \sin 2x + \sin 3x & \frac{3 + \sin 2x}{2} & \frac{-2 + \sin 3x}{3} \\ 3 + 4 \sin x & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} \sin x \\ 1 + \sin x & \frac{1}{2} \sin x & \frac{1}{3} \end{vmatrix}$ હોય, તો $\int_0^{\pi / 2} (f(x) + f^{\prime}(x)) dx =$

જો બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ નો ક્રમાંક (rank) હંમેશા કોના કરતા ઓછો હશે?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?
$1$. જો $A$ એ $5 \times 5$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $5$ કરતા ઓછો હોય છે.
$2$. જો $P$ એ શૂન્યતર સ્તંભ શ્રેણિક અને $Q$ એ શૂન્યતર હાર શ્રેણિક હોય,તો $PQ$ નો નિશ્ચાયક $1$ હોય છે.
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $2$ છે.
$4$. જો રેખાઓ $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ ભિન્ન હોય અને એક બિંદુએ છેદતી હોય,તો $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $3$ છે.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} ^x{C_1} & ^x{C_2} & ^x{C_3} \\ ^y{C_1} & ^y{C_2} & ^y{C_3} \\ ^z{C_1} & ^z{C_2} & ^z{C_3} \end{array} \right|$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ અને $C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકના ક્રમ (rank) દર્શાવતા હોય,તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?