यदि सदिश vec{alpha}=hat{i}+a hat{j}+a^{2} hat | vedclass

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Question

(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ

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$-1$

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(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को अलग करने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \ b & b^{2} & b^{3} \ c & c^{2} & c^{3}\end{array}ight| = 0$ दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ $(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं, इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \ 1 & b & b^{2} \ 1 & c & c^{2}\end{array}ight|$ का मान शून्य नहीं है। अतः, $1+abc = 0$, जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

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मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \end{vmatrix}$. तो:

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