જો વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ કાટખૂણે છેદે (આકૃતિ જુઓ),તો સાબિત કરો કે $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
(A) સાબિત કરવાનું છે: $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
Explore More
Similar Questions
$ABCD$ એક એવો ચતુષ્કોણ છે કે જેમાં $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. સાબિત કરો કે $\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.
Medium
View Solutionઆપેલ આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $M$ માં છેદે છે. જો $\angle BAC = 50^{\circ}$ અને $\angle ADB = 45^{\circ}$ હોય,તો $\angle ABC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
Medium
View Solution$AB$ અને $XY$ એ $P$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $l$ એ જીવા $AB$ અને $XY$ બંનેને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $AB \parallel XY$.
Medium
View Solutionનીચેના દરેક વિધાન માટે ખરું કે ખોટું લખો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો:
કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ એ $OA$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે. તો $\angle OAB = \angle OAC$.
કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $AC$ એ $OA$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર છે. તો $\angle OAB = \angle OAC$.
Easy
View Solutionનીચેના દરેક વિધાન સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે.
$(2)$ ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે.
$(1)$ જીવા અને તેના કોઈ પણ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે.
$(2)$ ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃત્તખંડ કહેવાય છે.
Easy
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo