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Question

(B) दिया गया है कि $\cot A, \cot B, \cot C$ समांतर श्रेणी में हैं, अतः $2 \cot B = \cot A + \cot C$ है।सर्वसमिका $\cot 	heta = \frac{\cos 	heta}{\si

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$a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

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(B) दिया गया है कि $\cot A, \cot B, \cot C$ समांतर श्रेणी में हैं, अतः $2 \cot B = \cot A + \cot C$ है।सर्वसमिका $\cot 	heta = \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta}$ का उपयोग करने पर, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \cos C \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{\sin(A+C)}{\sin A \sin C}$ प्राप्त होता है।चूँकि $A+B+C = \pi$, इसलिए $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ है।अतः, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$, जिसका अर्थ है $2 \cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$।$2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C) = \cos(A-C) + \cos B$ का उपयोग करने पर, $\cos B(\cos(A-C) + \cos B) = \sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ प्राप्त होता है।$\cos B \cos(A-C) + \cos^2 B = 1 - \cos^2 B \implies \cos B \cos(A-C) = 1 - 2 \cos^2 B = -\cos(2B) = \cos(2(A+C))$।ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ है।इसे समांतर श्रेणी की स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = 2 \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$।$2b^2 = a^2+c^2$, जिसका अर्थ है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

$\triangle ABC$ में, सामान्य संकेतन के साथ, यदि $\cot A, \cot B, \cot C$ समांतर श्रेणी में हैं, तो

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