$\Delta ABC$ में,यदि $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ और भुजा $a = 2$ है,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ का मान न्यूनतम है। यदि इसकी अंतःत्रिज्या $3$ है और अंतःकेंद्र $M$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

उन त्रिभुजों की संख्या जिनमें $\tan A + \tan B + \tan C = \cot A + \cot B + \cot C$ है,क्या है?

मान लीजिए $p_1, p_2, p_3$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B, C$ से खींचे गए शीर्षलंब हैं। यदि $r_1=4, r_2=6, r_3=12$ त्रिभुज $ABC$ की बहिःत्रिज्याएँ हैं, तो $\frac{1}{p_1^2}+\frac{1}{p_2^2}+\frac{1}{p_3^2}=$

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

सामान्य संकेतों के साथ,$\triangle ABC$ में,यदि $a=2, b=3, c=5$ और $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{k+7}{30}$ है,तो $k=$