એક સુરેખ આયોજન સમસ્યા ($L$.$P$.$P$.) માં, $3x - y \geq 6$, $x \leq 3$, $y \leq 2$, $y \geq 0$, અને $x \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ છે:

એક ફળ ઉત્પાદક તેના બગીચામાં બે પ્રકારના ખાતર,બ્રાન્ડ $P$ અને બ્રાન્ડ $Q$ નો ઉપયોગ કરી શકે છે. દરેક બ્રાન્ડની એક થેલીમાં નાઈટ્રોજન,ફોસ્ફોરિક એસિડ,પોટાશ અને ક્લોરિનનું પ્રમાણ ($kg$ માં) કોષ્ટકમાં આપેલ છે. પરીક્ષણો સૂચવે છે કે બગીચાને ઓછામાં ઓછા $240\,kg$ ફોસ્ફોરિક એસિડ,ઓછામાં ઓછા $270\,kg$ પોટાશ અને વધુમાં વધુ $310\,kg$ ક્લોરિનની જરૂર છે. જો ઉત્પાદક બગીચામાં ઉમેરવામાં આવતા નાઈટ્રોજનનું પ્રમાણ ઘટાડવા માંગતા હોય,તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ? બગીચામાં ઉમેરવામાં આવતા નાઈટ્રોજનનું ન્યૂનતમ પ્રમાણ કેટલું છે ($,kg$ માં)?

	બ્રાન્ડ $P$ ($kg$ પ્રતિ થેલી)	બ્રાન્ડ $Q$ ($kg$ પ્રતિ થેલી)
નાઈટ્રોજન	$3$	$3.5$
ફોસ્ફોરિક એસિડ	$1$	$2$
પોટાશ	$3$	$1.5$
ક્લોરિન	$1.5$	$2$

$LPP$ માટે શક્ય ઉકેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે $z=3x-4y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા માટે,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8000x + 12000y$ છે. જો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(20,0)$,$(12,6)$ અને $(0,10)$ હોય,તો $Z$ ની મહત્તમ કિંમત કયા શિરોબિંદુ પર મળે છે?

એક સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(LPP)$ માં, જો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = ax + by$ નું મૂલ્ય બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન મહત્તમ હોય, તો જે બિંદુઓ પર $Z_{max}$ મળે છે તેની સંખ્યા કેટલી છે?

સુરેખ આયોજન પ્રશ્ન $(LPP)$ નું હેતુલક્ષી વિધેય જે બહિર્મુખ ગણ પર વ્યાખ્યાયિત છે,તે તેનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય ક્યાં પ્રાપ્ત કરે છે?