ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ છે. સાબિત કરો કે $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$.
રચના: $AB$ અને $DC$ ને લંબાવો જેથી તેઓ બિંદુ $E$ પર મળે.
સાબિતી: $\triangle AED$ માં,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle E = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle AED$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$ ... $(i)$
કાટકોણ $\triangle BEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $AD^{2} + BC^{2} = AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}$ ... $(iii)$
કાટકોણ $\triangle AEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AE^{2} + CE^{2}$ ... $(iv)$
કાટકોણ $\triangle BED$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BD^{2} = BE^{2} + DE^{2}$ ... $(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $AC^{2} + BD^{2} = AE^{2} + CE^{2} + BE^{2} + DE^{2}$ ... $(vi)$
$(iii)$ અને $(vi)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.