એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે,$AB$ ને વ્યાસ ગણીને એક વર્તુળ દોરવામાં આવે છે જે કર્ણ $AC$ ને $P$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક $BC$ ને દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે $O$ એ આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક $BC$ ને $Q$ માં મળે છે. $BP$ ને જોડો.
સાબિત કરવાનું છે: $BQ = QC$.
સાબિતી: $\angle ABC = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$ (જ્યાં $\angle A = \angle 1$ અને $\angle C = \angle 5$).
તેથી,$\angle 1 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(i)$
યુગ્મ વૃત્તખંડના પ્રમેય મુજબ,$P$ આગળના સ્પર્શક અને જીવા $BP$ વચ્ચેનો ખૂણો એ યુગ્મ વૃત્તખંડમાં બનેલા ખૂણા જેટલો હોય છે,તેથી $\angle 3 = \angle 1$.
વળી,$\angle APB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળનો ખૂણો).
$AC$ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle APB + \angle BPC = 180^{\circ}$,તેથી $\angle BPC = 90^{\circ}$.
$\triangle BPC$ માં,$\angle 4 + \angle 5 = 90^{\circ}$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$\angle 1 + \angle 5 = \angle 4 + \angle 5$
$\Rightarrow \angle 1 = \angle 4$
$\angle 3 = \angle 1$ હોવાથી,આપણને $\angle 3 = \angle 4$ મળે છે.
$\triangle PQC$ માં,$\angle 3 = \angle 4$ હોવાથી,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $PQ = QC$.
વળી,બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોય છે,તેથી $PQ = BQ$.
તેથી,$BQ = QC$.
આમ,$P$ આગળનો સ્પર્શક $BC$ ને દુભાગે છે.