मूलबिंदु पर केंद्र वाले एक दीर्घवृत्त में,यदि दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों का अंतर $10$ है और नाभियों में से एक $(0, 5\sqrt{3})$ पर है,तो इसके नाभिलंब की लंबाई क्या है?

कथन $(A)$: एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $4$ है। इसकी नाभि और इसकी संगत नियता (directrix) क्रमशः $(1, -2)$ और $3x + 4y - 15 = 0$ हैं। तब इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{1}{2}$ है।
कारण $(R)$: दीर्घवृत्त की नाभि से उसकी संगत नियता पर खींचे गए लंब की लंबाई $\frac{a(1 - e^2)}{e}$ होती है।
तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ की एक नाभीय जीवा (दीर्घ अक्ष के अलावा) के सिरों के उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $\frac{\cot(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)}=$

$c$ के किस मान के लिए रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है? $c$ के संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ के बिंदु $(3, -2)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण क्या हैं?

एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $6$ इकाई है और एक नाभि तथा उसके मुख्य अक्ष पर स्थित निकटतम शीर्ष के बीच की दूरी $\frac{5}{3}$ इकाई है। यदि $e$ इस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है,तो $e$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है?