નીચેના દરેક કિસ્સામાં,સમતલના અભિલંબની દિકકોસાઇન (direction cosines) અને ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર શોધો: $2x + 3y - z = 5$.
(A) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $2x + 3y - z = 5$ છે .............$(1)$
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $a = 2, b = 3, c = -1$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ થાય.
સમીકરણને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં ફેરવવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુને $\sqrt{14}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{\sqrt{14}}x + \frac{3}{\sqrt{14}}y - \frac{1}{\sqrt{14}}z = \frac{5}{\sqrt{14}}$.
આને પ્રમાણિત અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(l, m, n)$ એ અભિલંબની દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે:
દિકકોસાઇન $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{5}{\sqrt{14}}$ એકમ છે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $a = 2, b = 3, c = -1$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ થાય.
સમીકરણને અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ માં ફેરવવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુને $\sqrt{14}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{\sqrt{14}}x + \frac{3}{\sqrt{14}}y - \frac{1}{\sqrt{14}}z = \frac{5}{\sqrt{14}}$.
આને પ્રમાણિત અભિલંબ સ્વરૂપ $lx + my + nz = d$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(l, m, n)$ એ અભિલંબની દિકકોસાઇન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી અંતર છે:
દિકકોસાઇન $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}$ છે.
ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{5}{\sqrt{14}}$ એકમ છે.
Explore More
Similar Questions
એક સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ જે બિંદુ $A(2,2,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો પર સમાન શૂન્યતર અંતઃખંડો બનાવે છે,તે શોધો.
ત્રણ સમતલો ધ્યાનમાં લો:
$P_1: x-y+z=1$
$P_2: x+y-z=-1$
$P_3: x-3y+3z=2$
ધારો કે $L_1, L_2, L_3$ એ અનુક્રમે સમતલો $P_2$ અને $P_3$,$P_3$ અને $P_1$,તથા $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાઓ છે.
$\text{વિધાન}-1$: રેખાઓ $L_1, L_2$ અને $L_3$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે રેખાઓ સમાંતર નથી.
$\text{વિધાન}-2$: ત્રણેય સમતલોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.
$P_1: x-y+z=1$
$P_2: x+y-z=-1$
$P_3: x-3y+3z=2$
ધારો કે $L_1, L_2, L_3$ એ અનુક્રમે સમતલો $P_2$ અને $P_3$,$P_3$ અને $P_1$,તથા $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાઓ છે.
$\text{વિધાન}-1$: રેખાઓ $L_1, L_2$ અને $L_3$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે રેખાઓ સમાંતર નથી.
$\text{વિધાન}-2$: ત્રણેય સમતલોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.
એક સદિશ $\vec{n}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$,$y$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ અને $z$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવે છે. જો $\vec{n}$ એ બિંદુ $(\sqrt{2}, -1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ હોય,તો સમતલનું સમીકરણ શોધો.
DifficultJEE MAIN 2013
View Solution$(1, -2, 5)$,$(0, -5, -1)$ અને $(-3, 5, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શું છે?
ધારો કે બિંદુ $P(1, 3, a)$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - b = 0$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $Q(-3, 5, 2)$ છે. તો $|a + b|$ નું મૂલ્ય ...... છે.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo