નીચેના દરેક કિસ્સામાં,વિધેય એક-એક (one-one),વ્યાપ્ત (onto) કે બાયજેક્ટિવ (bijective) છે કે નહીં તે જણાવો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો. $f : R \rightarrow R$ જે $f(x) = 1 + x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.

(D) વિધેય $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 1 + x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક (one-one) ચકાસવા માટે:
ધારો કે $x_1, x_2 \in R$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
$\Rightarrow 1 + x_1^2 = 1 + x_2^2$
$\Rightarrow x_1^2 = x_2^2$
$\Rightarrow x_1 = \pm x_2$.
અહીં $f(1) = 1 + (1)^2 = 2$ અને $f(-1) = 1 + (-1)^2 = 2$ મળે છે,તેથી $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$.
તેથી,$f$ એ એક-એક વિધેય નથી.
વ્યાપ્ત (onto) ચકાસવા માટે:
સહ-પ્રદેશ $R$ માં એક ઘટક $-2$ લો.
કોઈપણ $x \in R$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$f(x) = 1 + x^2 \geq 1$ થાય.
આમ,પ્રદેશ $R$ માં એવો કોઈ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = -2$ થાય.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ:
આમ,વિધેય $f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,તેથી તે બાયજેક્ટિવ નથી.