आकृति में,चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $AC$ और $BD$ परस्पर $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OB = OD$ है। यदि $AB = CD$ है,तो दर्शाइए कि:
$(i)$ $ar(DOC) = ar(AOB)$
$(ii)$ $ar(DCB) = ar(ACB)$
$(iii)$ $DA \parallel CB$ या $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
[संकेत: $D$ और $B$ से $AC$ पर लंब खींचिए।]

(A) हमारे पास एक चतुर्भुज $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हमें दिया गया है कि $OB = OD$ और $AB = CD$ है।
मान लीजिए हम $DE \perp AC$ और $BF \perp AC$ खींचते हैं।
$(i)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$:
$\Delta DEO$ और $\Delta BFO$ में:
$DO = BO$ (दिया है)
$\angle DOE = \angle BOF$ (शीर्षाभिमुख कोण)
$\angle DEO = \angle BFO = 90^\circ$ (रचना से)
अतः,$\Delta DEO \cong \Delta BFO$ ($AAS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे $DE = BF$ और $ar(\Delta DEO) = ar(\Delta BFO)$ प्राप्त होता है $(1)$।
अब,$\Delta DEC$ और $\Delta BFA$ में:
$\angle DEC = \angle BFA = 90^\circ$
$DE = BF$ (ऊपर से)
$DC = BA$ (दिया है)
अतः,$\Delta DEC \cong \Delta BFA$ ($RHS$ सर्वांगसमता नियम)।
इससे $ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFA)$ प्राप्त होता है $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$ar(\Delta DEO) + ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFO) + ar(\Delta BFA)$
$ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$।
$(ii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $ar(DCB) = ar(ACB)$:
चूंकि $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$,
दोनों पक्षों में $ar(\Delta BOC)$ जोड़ने पर:
$ar(\Delta DOC) + ar(\Delta BOC) = ar(\Delta AOB) + ar(\Delta BOC)$
$ar(\Delta DCB) = ar(\Delta ACB)$।
$(iii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $DA \parallel CB$:
चूंकि $\Delta DCB$ और $\Delta ACB$ एक ही आधार $CB$ पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए वे समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने चाहिए।
अतः,$DA \parallel CB$। चूंकि $DA \parallel CB$ और $AB = CD$ है,इसलिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।