આકૃતિમાં,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $OB = OD$ થાય. જો $AB = CD$ હોય,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $ar(DOC) = ar(AOB)$
$(ii)$ $ar(DCB) = ar(ACB)$
$(iii)$ $DA \parallel CB$ અથવા $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
[સૂચના: $D$ અને $B$ માંથી $AC$ પર લંબ દોરો.]

(A) આપણી પાસે ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
આપણને આપેલ છે કે $OB = OD$ અને $AB = CD$.
ધારો કે આપણે $DE \perp AC$ અને $BF \perp AC$ દોરીએ છીએ.
$(i)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$:
$\Delta DEO$ અને $\Delta BFO$ માં:
$DO = BO$ (આપેલ છે)
$\angle DOE = \angle BOF$ (અભિકોણ)
$\angle DEO = \angle BFO = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
તેથી,$\Delta DEO \cong \Delta BFO$ ($AAS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $DE = BF$ અને $ar(\Delta DEO) = ar(\Delta BFO)$ $(1)$.
હવે,$\Delta DEC$ અને $\Delta BFA$ માં:
$\angle DEC = \angle BFA = 90^\circ$
$DE = BF$ (ઉપર મુજબ)
$DC = BA$ (આપેલ છે)
તેથી,$\Delta DEC \cong \Delta BFA$ ($RHS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFA)$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$ar(\Delta DEO) + ar(\Delta DEC) = ar(\Delta BFO) + ar(\Delta BFA)$
$ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$.
$(ii)$ સાબિત કરવા માટે કે $ar(DCB) = ar(ACB)$:
કારણ કે $ar(\Delta DOC) = ar(\Delta AOB)$,
બંને બાજુ $ar(\Delta BOC)$ ઉમેરતા:
$ar(\Delta DOC) + ar(\Delta BOC) = ar(\Delta AOB) + ar(\Delta BOC)$
$ar(\Delta DCB) = ar(\Delta ACB)$.
$(iii)$ સાબિત કરવા માટે કે $DA \parallel CB$:
કારણ કે $\Delta DCB$ અને $\Delta ACB$ એક જ પાયા $CB$ પર આવેલા છે અને તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$DA \parallel CB$. આમ,$DA \parallel CB$ અને $AB = CD$ હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.