आकृति में,$ABD$ एक त्रिभुज है जो $A$ पर समकोण है और $AC \perp BD$ है। दर्शाइए कि $AD^{2} = BD \cdot CD$.

(N/A) दिया है: $\triangle ABD$ में,$\angle A = 90^{\circ}$ और $AC \perp BD$.
सिद्ध करना है: $AD^{2} = BD \cdot CD$.
उपपत्ति: $\triangle ACD$ और $\triangle BAD$ पर विचार करें।
$\triangle ACD$ और $\triangle BAD$ में:
$\angle ACD = \angle BAD = 90^{\circ}$।
$\angle D = \angle D$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\triangle ACD \sim \triangle BAD$।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:
$\frac{AC}{BA} = \frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$।
अनुपात के अंतिम दो भागों को लेने पर:
$\frac{CD}{AD} = \frac{AD}{BD}$।
वज्र-गुणन करने पर:
$AD^{2} = BD \cdot CD$।
इति सिद्धम्।