निम्नलिखित स्थितियों में,निर्धारित करें कि क्या दिए गए समतल समांतर हैं या लंबवत हैं,और यदि वे न तो समांतर हैं और न ही लंबवत,तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$4x + 8y + z - 8 = 0$ और $y + z - 4 = 0$

(D) समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के अभिलंब के दिक-अनुपात क्रमशः $(A_1, B_1, C_1)$ और $(A_2, B_2, C_2)$ हैं।
यदि $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ है,तो समतल समांतर हैं।
यदि $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ है,तो समतल लंबवत हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$.
दिए गए समतलों $4x + 8y + z - 8 = 0$ और $0x + y + z - 4 = 0$ के लिए:
$A_1 = 4, B_1 = 8, C_1 = 1$ और $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = 1$.
लंबवतता की जाँच: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = (4)(0) + (8)(1) + (1)(1) = 0 + 8 + 1 = 9 \neq 0$. अतः,वे लंबवत नहीं हैं।
समांतरता की जाँच: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{0}$ (अपरिभाषित),$\frac{B_1}{B_2} = 8$,$\frac{C_1}{C_2} = 1$. अनुपात समान न होने के कारण,वे समांतर नहीं हैं।
कोण की गणना: $\cos \theta = \left| \frac{9}{\sqrt{16 + 64 + 1} \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{9}{9 \times \sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन।