त्रिभुज $ABC$ में,यदि $\frac{\tan A}{2} = \frac{\tan B}{3} = \frac{\tan C}{4}$ है,तो $\sec^2 A + \sec^2 B + \sec^2 C$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $S = \{x \in [-\pi, \pi] : \sin x(\sin x + \cos x) = a, a \in Z\}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए:

त्रिभुज $PQR$ में सामान्य संकेतों के साथ,$\angle R = \frac{\pi}{2}$ है। यदि $\tan \frac{P}{2}$ और $\tan \frac{Q}{2}$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ $(a \neq 0)$ के मूल हैं,तो:

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

$\triangle ABC$ में,यदि $a=2, b=\sqrt{6}$,और $c=\sqrt{3}+1$ है,तो $\sin^2 C - \sin^2 A =$

यदि $\triangle ABC$ में,सामान्य संकेतों के साथ,$a^2, b^2, c^2$ $A$.$P$. में हैं,तो $\frac{\sin 3B}{\sin B} =$