બિંદુ $P (-4, 3)$ એ બિંદુઓ $A (1, -2)$ અને $B (-6, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

$P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ આપેલા બિંદુઓ છે. જો $\overline{PQ}$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો $PQ = \dots$

ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$ અને $B(3, -2)$ છે. ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x, y)$ છે,જ્યાં $y = x + 3$ છે. જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $5$ હોય,તો ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ શોધો.

બિંદુઓ $A(3, 2)$ અને $B(5, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ પર $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે અને તે રેખા $3x - 18y + k = 0$ પર આવેલું છે. $k$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ $A$ માંથી દોરેલી મધ્યગા $BC$ ને $D$ માં મળે છે. બિંદુ $D$ ના યામ શોધો.
$(ii)$ $AD$ પરના એવા બિંદુ $P$ ના યામ શોધો કે જેથી $AP : PD = 2 : 1$ થાય.
$(iii)$ મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ પરના એવા બિંદુઓ $Q$ અને $R$ ના યામ શોધો કે જેથી $BQ : QE = 2 : 1$ અને $CR : RF = 2 : 1$ થાય.
$(iv)$ ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ શું છે?

નીચેનું વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
બિંદુ $A (2,7)$ એ બિંદુઓ $P (6,5)$ અને $Q (0,-4)$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.