વિધેયનું સંકલન કરો: $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}$

આપણે સંકલન $I = \int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલિતના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ,જે $\frac{d}{dx}(x^2+2x+3) = 2x+2$ છે.
$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2(x+2)}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
ધારો કે $I_1 = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ અને $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$.
$I_1$ માટે,$t = x^2+2x+3$ લેતા,$dt = (2x+2)dx$ મળે.
$I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{x^2+2x+3}$.
$I_2$ માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરતા: $x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2 = (x+1)^2 + (\sqrt{2})^2$.
$I_2 = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + (\sqrt{2})^2}} = \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 2}| = \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}|$.
આ બંનેને ભેગા કરતા,$I = \frac{1}{2}(2\sqrt{x^2+2x+3}) + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$.
અંતિમ જવાબ: $I = \sqrt{x^2+2x+3} + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$.