ધારો કે f એ વિકલનીય વિધેય છે જે f(xy) = xf(y) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) = x \ln x + 2x$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = xf(y) + yf(x) - 2xy$ છે. $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{f(xy)}{xy} = \frac{f(y)}{y} + \frac{f(x)}{x} - 2$. ધારો કે $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. તો $g(xy) = g(x) + g(y) - 2$. ધારો કે $h(x) = g(x) - 2$. તો $h(xy) + 2 = h(x) + 2 + h(y) + 2 - 2$,જે $h(xy) = h(x) + h(y)$ માં પરિણમે છે. આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,તેથી $h(x) = c \ln x$. આમ,$\frac{f(x)}{x} - 2 = c \ln x$,અથવા $f(x) = cx \ln x + 2x$. આપેલ છે કે $f'(x) = c \ln x + c + 2$. $x = 1$ આગળ,$f'(1) = c(0) + c + 2 = 3$,તેથી $c = 1$. તેથી,$f(x) = x \ln x + 2x$. વિકલ્પો તપાસતા,$f(x) = x \ln x + 2x$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

Similar Questions

જો $f: R-\{0\} \rightarrow R$ એ $3 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2-x}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $f(3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ અને $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x - y) + f(x + y) = 2f(x)f(y)$ હોય, તો $f(x)$ એ ..... છે.

જો $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ અને $x=3, 4, 5, \ldots$ માટે $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ હોય,તો $f(9)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module