मान लीजिए f : A to B एक फलन है जो f(x) = frac | vedclass

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Question

(D) यह जांचने के लिए कि फलन व्युत्क्रमणीय है या नहीं,हमें यह दिखाना होगा कि यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है।$1$. एकैकी: मान लीजि

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व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$

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(D) यह जांचने के लिए कि फलन व्युत्क्रमणीय है या नहीं,हमें यह दिखाना होगा कि यह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है।$1$. एकैकी: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$.$\frac{x_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{x_2 - 2}$$(x_1 - 1)(x_2 - 2) = (x_2 - 1)(x_1 - 2)$$x_1x_2 - 2x_1 - x_2 + 2 = x_1x_2 - 2x_2 - x_1 + 2$$-2x_1 - x_2 = -2x_2 - x_1$$x_2 = x_1$. अतः,$f$ एकैकी है।$2$. आच्छादक: मान लीजिए $y = \frac{x - 1}{x - 2}$.$y(x - 2) = x - 1$$yx - 2y = x - 1$$yx - x = 2y - 1$$x(y - 1) = 2y - 1$$x = \frac{2y - 1}{y - 1}$.चूंकि प्रत्येक $y \in R - \{1\}$ के लिए,एक $x \in R - \{2\}$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$ है।

मान लीजिए $f : A \to B$ एक फलन है जो $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $A = R - \{2\}$ और $B = R - \{1\}$ है। तब $f$ है

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