मान लीजिए कि $M$ और $m$ अंतराल $[0, 3]$ में फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ के क्रमशः स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान हैं। तो $M - m$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक दो बार अवकलनीय फलन $f : R \rightarrow [-2, 2]$ के लिए,जहाँ $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$ है,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ ऐसे $r, s \in R$ मौजूद हैं,जहाँ $r < s$,कि $f$ विवृत अंतराल $(r, s)$ पर एकैकी (one-one) है।
$(B)$ ऐसा $x_0 \in (-4, 0)$ मौजूद है कि $|f'(x_0)| \leq 1$.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$.
$(D)$ ऐसा $a \in (-4, 4)$ मौजूद है कि $f(a) + f''(a) = 0$ और $f'(a) \neq 0$.

फलन $f(x) = x^4(12\ln x - 7)$ के लिए निम्नलिखित स्तंभों का मिलान करें:

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ यदि $(a, b)$ नतिपरिवर्तन बिंदु है,तो $a - b$ बराबर है	$(P)$ $3$
$(B)$ यदि $e^t$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,तो $12t$ बराबर है	$(Q)$ $1$
$(C)$ यदि ग्राफ $(d, e)$ पर अवतल नीचे (concave down) है,तो $d + 3e$ बराबर है	$(R)$ $4$
$(D)$ यदि ग्राफ $(p, \infty)$ पर अवतल ऊपर (concave up) है,तो $p$ बराबर है	$(S)$ $8$

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{7}{3} & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है
$(B)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है
$(C)$ अंतराल $[\pi, 6\pi]$ में $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $3$ है
$(D)$ अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में $f$ के स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं की संख्या $1$ है

फलन $y = e^{-|x|}$ के ग्राफ पर उस बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्शरेखा का अंतःखंडित भाग अधिकतम क्षेत्रफल रखता है।