मान लीजिए P परवलय x^2 = 4y पर एक बिंदु है। यद | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए परवलय $x^2 = 4y$ पर बिंदु $P(2t, t^2)$ है।दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ है। इसका केंद्र $C(-3, 0)$ है।दूरी $PC$ को न्यूनतम होन

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$x + y + 1 = 0$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए परवलय $x^2 = 4y$ पर बिंदु $P(2t, t^2)$ है।दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ है। इसका केंद्र $C(-3, 0)$ है।दूरी $PC$ को न्यूनतम होने के लिए,रेखा $PC$ को $P$ पर परवलय का अभिलंब होना चाहिए।$P(2t, t^2)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = t$ है।इसलिए,$P$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{t}$ है।$P(2t, t^2)$ और $C(-3, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा $PC$ की ढाल $\frac{t^2 - 0}{2t - (-3)} = \frac{t^2}{2t + 3}$ है।ढालों की तुलना करने पर: $\frac{t^2}{2t + 3} = -\frac{1}{t}$.$t^3 = -2t - 3 \Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 + 2(-1) + 3 = 0$.$t = -1$ के लिए,बिंदु $P(-2, 1)$ है।$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $t = -1$ है।$(-2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -1(x + 2)$ है।$y - 1 = -x - 2 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.

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