मान लीजिए कि k और K अंतराल [0, 1] में फलन f(x | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,जहाँ $x \in [0, 1]$.अवकलन $f'(x)$ लेने पर:$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 +

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$(2^{-0.4}, 1)$

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(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,जहाँ $x \in [0, 1]$.अवकलन $f'(x)$ लेने पर:$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 + x)^{-2/5} - (1 + x)^{3/5} \cdot \frac{3}{5}x^{-2/5}}{(1 + x^{3/5})^2}$$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{1 + x^{3/5}}{(1 + x)^{2/5}} - \frac{(1 + x)^{3/5}}{x^{2/5}} \right]$$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5}(1 + x^{3/5}) - (1 + x)^{3/5}(1 + x)^{2/5}}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} + x - (1 + x)}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right] = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} - 1}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$चूंकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $x^{2/5} \le 1$,अतः $f'(x) \le 0$। फलन ह्रासमान (decreasing) है।इसलिए,अधिकतम मान $K = f(0) = \frac{(1+0)^{0.6}}{1+0^{0.6}} = 1$ है।न्यूनतम मान $k = f(1) = \frac{(1+1)^{0.6}}{1+1^{0.6}} = \frac{2^{0.6}}{2} = 2^{0.6 - 1} = 2^{-0.4}$ है।अतः,क्रमित युग्म $(k, K) = (2^{-0.4}, 1)$ है।

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