मान लीजिए $f : [0,1] \to R$ इस प्रकार है कि सभी $x, y \in [0,1]$ के लिए $f(xy) = f(x)f(y)$ है,और $f(0) \ne 0.$ यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x)$ को संतुष्ट करता है जहाँ $y(0) = 1,$ तो $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ को संतुष्ट करने वाली सरल रेखाओं की संख्या है:

एक वक्र बिंदु $(3,2)$ से होकर गुजरता है जिसके लिए निर्देशांक अक्षों के बीच स्थित स्पर्श रेखा का खंड स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होता है। वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

दिया गया है $\frac{d^2 y}{d x^2}+\cot x \frac{d y}{d x}+4 y \operatorname{cosec}^2 x=0$. स्वतंत्र चर $x$ को $z$ में बदलने के लिए $z=\log \tan \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर, समीकरण किसमें बदल जाएगा?

एक वक्र पर किसी बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो $(1, 1)$ से होकर गुजरती है। स्पर्श रेखा $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $AP:BP = 3:1$ है, तो: