ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = 2x + x^2 	an x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.

Vedclass · Accepted Answer

$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \pi - \sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = 2x + x^2 	an x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ છે.બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,આપણને $y \sec x = \int (2x + x^2 	an x) \sec x dx$ મળે છે.$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x 	an x dx$.નોંધો કે $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x 	an x$ થાય છે.તેથી,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.$\sec x$ વડે ભાગતા,$y = x^2 + C \cos x$ મળે છે.$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.તેથી,$y = x^2 + \cos x$.હવે,$y' = 2x - \sin x$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2\left( \frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = 2\left( -\frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} ight) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) - y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} ight) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ight) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 1$ છે. તો

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ નો ઉકેલ છે:

$\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}$ પ્રકારના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

જો $x=x(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ હોય,તો $x(1)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$. તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module