मान लीजिए [t] महत्तम पूर्णांक leq t को दर्शात | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \lim_{x 	o 0} x[\frac{4}{x}]$.गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x 	o 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) =

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$\sqrt{A+1}$

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(B) दिया गया है $A = \lim_{x 	o 0} x[\frac{4}{x}]$.गुणधर्म $[y] = y - \{y\}$ का उपयोग करने पर,$A = \lim_{x 	o 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x 	o 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.चूंकि $0 \leq \{\frac{4}{x}\} अतः,$A = 4$.फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $[x^2]$ असंतत है,जो तब होता है जब $x^2$ एक पूर्णांक हो,उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $\sin(\pi x) = 0$ हो।$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ के लिए,$f(x)$ असंतत है जब तक कि $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$ न हो।$A=4$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$। चूंकि $x^2 = 5$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi \sqrt{5}) 
eq 0$,इसलिए फलन $x = \sqrt{5}$ पर असंतत है।

मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है और $\lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}] = A$ है। तब फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ असंतत (discontinuous) है,जब $x$ का मान है

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यदि फलन $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(x) = k$ जहाँ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }, x \ne \frac{\pi }{4}, x \in [0, \frac{\pi }{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi }{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi }{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x \frac{e^{(1/x)} - e^{(-1/x)}}{e^{(1/x)} + e^{(-1/x)}}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।

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