ધારો કે $A$ એ શાળાના ધોરણ $X$ ના તમામ $50$ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. ધારો કે $f: A \rightarrow N$ એ $f(x) = \text{વિદ્યાર્થી } x \text{ નો રોલ નંબર}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ એક-એક છે પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.
(N/A) $1$. એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ ગણ $A$ ના બે અલગ-અલગ વિદ્યાર્થીઓ છે. કોઈપણ બે અલગ વિદ્યાર્થીઓનો રોલ નંબર સમાન હોઈ શકે નહીં,તેથી $f(x_1) \neq f(x_2)$. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f$ નો સહપ્રદેશ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N = \{1, 2, 3, ...\}$ છે. $f$ નો વિસ્તાર એ $50$ વિદ્યાર્થીઓને ફાળવવામાં આવેલા રોલ નંબરનો ગણ છે,જે $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ છે.
$3$. કારણ કે વિસ્તાર $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ એ સહપ્રદેશ $N$ નો ઉચિત ઉપગણ છે (દા.ત.,$51 \in N$ પરંતુ $51$ વિસ્તારમાં નથી),તેથી $N$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક એવો છે જેનું $A$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
$4$. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
$2$. વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f$ નો સહપ્રદેશ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N = \{1, 2, 3, ...\}$ છે. $f$ નો વિસ્તાર એ $50$ વિદ્યાર્થીઓને ફાળવવામાં આવેલા રોલ નંબરનો ગણ છે,જે $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ છે.
$3$. કારણ કે વિસ્તાર $\{1, 2, 3, ..., 50\}$ એ સહપ્રદેશ $N$ નો ઉચિત ઉપગણ છે (દા.ત.,$51 \in N$ પરંતુ $51$ વિસ્તારમાં નથી),તેથી $N$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક એવો છે જેનું $A$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
$4$. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
Explore More
Similar Questions
ગણ $A = \{x \in N: x^{2}-10x+9 \leq 0\}$ થી ગણ $B = \{n^{2}: n \in N\}$ પરના વિધેયો $f$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક $x \in A$ માટે $f(x) \leq (x-3)^{2}+1$ થાય.
ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & \text{જો } x < 2 \\ x - 3, & \text{જો } x \geq 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. તો $f(x) = 8$ થાય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ ની સંખ્યા કેટલી છે?
વિધેય $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \{a, b, c\}$ ની સંખ્યા, જે વ્યાપ્ત (onto) નથી, તે કેટલી છે?
DifficultJEE MAIN 2026
View Solutionધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણ $A$ અને $B$ માટે,$f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $x \in A$. સ્તંભ-$I$ ની વસ્તુઓને સ્તંભ-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.
સ્તંભ-$I$ સ્તંભ-$II$ $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો $1$. $A = R^{+}, B = R$ $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો $2$. $A = B = R$ $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો $3$. $A = R, B = R^{+}$ $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો $4$. $A = B = R^{+}$
| સ્તંભ-$I$ | સ્તંભ-$II$ |
|---|---|
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |
DifficultAP EAMCET 2010
View Solutionનીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન-$I$ : વિધેય $f: A \rightarrow B$ ને એક-એક (one-one) કહેવાય જો અને માત્ર જો $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ હોય.
વિધાન-$II$ : સંબંધ $f: A \rightarrow B$ ને વિધેય કહેવાય જો $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ હોય.
તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
વિધાન-$I$ : વિધેય $f: A \rightarrow B$ ને એક-એક (one-one) કહેવાય જો અને માત્ર જો $f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ હોય.
વિધાન-$II$ : સંબંધ $f: A \rightarrow B$ ને વિધેય કહેવાય જો $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$ હોય.
તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo