मान लीजिए $f: N \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=4x^{2}+12x+15$ द्वारा परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow S$,जहाँ $S$ फलन $f$ का परिसर है,व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

(N/A) मान लीजिए $y$ परिसर $S$ का एक स्वेच्छ अवयव है। तब किसी $x \in N$ के लिए $y = 4x^{2} + 12x + 15$ है।
इसे $y = (2x + 3)^{2} + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $(2x + 3)^{2} = y - 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x + 3 = \sqrt{y - 6}$ (चूंकि $x \in N$,इसलिए $2x + 3 > 0$)।
अतः,$x = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ है।
$g: S \rightarrow N$ को $g(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ द्वारा परिभाषित करें।
अब,$g(f(x)) = g((2x + 3)^{2} + 6) = \frac{\sqrt{(2x + 3)^{2} + 6 - 6} - 3}{2} = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x$ है।
साथ ही,$f(g(y)) = f\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) = \left(2\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) + 3\right)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6} - 3 + 3)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y$ है।
चूंकि $g \circ f = I_{N}$ और $f \circ g = I_{S}$ है,इसलिए $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ है।