ધારો કે $f$ એ $[a, b]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in (a, b)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ છે. સાબિત કરો કે $f$ એ $(a, b)$ પર વધતું વિધેય છે.

$f$ એ $(a, b)$ પર વધતું વિધેય છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે મધ્યકમાન પ્રમેય $(MVT)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ $(a, b)$ માં કોઈપણ બે બિંદુઓ છે જેથી $x_1 < x_2$.
કારણ કે $f$ એ $[a, b]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને તમામ $x \in (a, b)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ છે,તેથી $f$ એ $[x_1, x_2]$ પર સતત છે અને $(x_1, x_2)$ પર વિકલનીય છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક એવું બિંદુ $c \in (x_1, x_2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
તમામ $x \in (a, b)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $f^{\prime}(c) > 0$ છે.
$x_1 < x_2$ હોવાથી,$x_2 - x_1 > 0$ થાય.
તેથી,$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x_2) - f(x_1) > 0$,અથવા $f(x_2) > f(x_1)$.
આમ,$x_1 < x_2$ માટે $f(x_1) < f(x_2)$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ $(a, b)$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.