मान लीजिए f(x) = x cdot left[ frac{x}{2} righ | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} \right]$ को $x \in (-10, 10)$ के लिए परिभाषित किया गया है।महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मान

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$8$

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(A) फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} ight]$ को $x \in (-10, 10)$ के लिए परिभाषित किया गया है।महत्तम पूर्णांक फलन $[t]$,$t$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।यहाँ,$t = \frac{x}{2}$ है। अतः,$f(x)$ तब असंतत हो सकता है जब $\frac{x}{2} = k$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।दिया गया है कि $-10 $k = \frac{x}{2}$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ हैं।आइए इन बिंदुओं पर सांतत्य की जाँच करें:$1$. $k 
eq 0$ (अर्थात $x 
eq 0$) के लिए,फलन $f(x) = x \cdot \left[ \frac{x}{2} ight]$ असंतत है क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन $\left[ \frac{x}{2} ight]$ इन बिंदुओं पर कूदता है और $x$ शून्य नहीं है।$2$. $k = 0$ के लिए,$x = 0$ है। हम $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:$f(0) = 0 \cdot [0] = 0$.$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} x \cdot [0] = 0$.$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} x \cdot [-1] = 0$.चूंकि $f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} f(x) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर संतत है।अतः,असंतत बिंदु $\frac{x}{2} \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\}$ हैं,जो $x \in \{-8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8\}$ के अनुरूप हैं।ऐसे कुल $8$ बिंदु हैं।

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