मान लीजिए कि alpha और beta समीकरण x^3 + 3x^2 | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के मूल $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma =

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$x^3 - 3x - 1 = 0$

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(A) मान लीजिए कि समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के मूल $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -(\frac{-1}{1}) = 1$ है।इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$ है।मान लीजिए $y = \alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$,जिसका अर्थ है $\gamma = \frac{1}{y}$।चूंकि $\gamma$ मूल समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ का एक मूल है,हम $x = \gamma = \frac{1}{y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$(\frac{1}{y})^3 + 3(\frac{1}{y})^2 - 1 = 0$।पूरे समीकरण को $y^3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:$1 + 3y - y^3 = 0$।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y^3 - 3y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3 - 3x - 1 = 0$ है।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के दो भिन्न मूल हैं। वह समीकरण जिसका मूल $(\alpha \beta)$ है,वह किसके बराबर है?

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x^{2}-25=0$
$II.$ $y^{2}-9y+20=0$

यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 - 100x^3 + 2x^2 + 4x + 10 = 0$ के मूल हैं,तो $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं और $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,तथा $\alpha^3 + \beta^3$ एक $G.P.$ में हैं,जहाँ $\Delta = b^2 - 4ac$,तो:

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $2x^{2} + 11x + 14 = 0$
$II.$ $4y^{2} + 12y + 9 = 0$

दो धनात्मक भिन्न संख्याएँ $a$ और $b$ प्रत्येक अपने व्युत्क्रम से $1$ का अंतर रखती हैं। $a + b$ का मान क्या है?

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