मान लीजिए x_n, y_n, z_n, w_n चार अलग-अलग समां | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $S_n = x_n + y_n + z_n + w_n$ है। चूंकि समांतर श्रेणियों का योग भी एक समांतर श्रेणी होता है, इसलिए मान लीजिए $S_n = A + (n-1)D$ है।दिया

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$10^4$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $S_n = x_n + y_n + z_n + w_n$ है। चूंकि समांतर श्रेणियों का योग भी एक समांतर श्रेणी होता है, इसलिए मान लीजिए $S_n = A + (n-1)D$ है।दिया गया है $S_4 = A + 3D = 8$ और $S_{10} = A + 9D = 20$ है।दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: $(A + 9D) - (A + 3D) = 20 - 8 \Rightarrow 6D = 12 \Rightarrow D = 2$ प्राप्त होता है।$A + 3D = 8$ में $D = 2$ रखने पर, हमें $A + 6 = 8 \Rightarrow A = 2$ प्राप्त होता है।अब, $S_{20} = A + 19D = 2 + 19(2) = 2 + 38 = 40$ है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार, धनात्मक पदों $x_{20}, y_{20}, z_{20}, w_{20}$ के लिए:$\frac{x_{20} + y_{20} + z_{20} + w_{20}}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।$\frac{40}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4} \Rightarrow 10 \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर, हमें $10^4 \geq x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20}$ प्राप्त होता है।अतः, अधिकतम मान $10^4$ है।

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