ધારો કે $a, b \in R$ એવા છે કે જેથી $a, a + 2b, 2a + b$ એ $A.P.$ માં છે અને $(b + 1)^2, ab + 5, (a + 1)^2$ એ $G.P.$ માં છે,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

ઢાળ પર ઉપર તરફ ગબડતો એક દડો પ્રથમ સેકન્ડમાં $36\, m$,બીજી સેકન્ડમાં $32\, m$,ત્રીજી સેકન્ડમાં $28\, m$ અંતર કાપે છે અને આ રીતે આગળ વધે છે. તો તે $8^{th}$ સેકન્ડ દરમિયાન કેટલું અંતર કાપશે? ($m$ માં)

ધારો કે એક અચળ ન હોય તેવી $A.P., a_1, a_2, a_3, \dots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$ છે,જ્યાં $A$ એક અચળાંક છે. જો $d$ એ આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(d, a_{50})$ કોના બરાબર થાય?

વિધાન $-1$: શ્રેણી $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ નો સરવાળો $8000$ છે.
વિધાન $-2$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

શ્રેણી $\frac{3 \times 1}{1^2} + \frac{5 \times (1^3 + 2^3)}{1^2 + 2^2} + \frac{7 \times (1^3 + 2^3 + 3^3)}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ ના $10$ માં પદ સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $x = \sum_{n = 0}^\infty a^n$,$y = \sum_{n = 0}^\infty b^n$,અને $z = \sum_{n = 0}^\infty (ab)^n$,જ્યાં $a, b < 1$ હોય,તો: