मान लीजिए z = frac{1 - i sqrt{3}}{2},जहाँ i = | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{-i \frac{\pi}{3}}$.अतः $z^r + \frac{1}{z^r} = e^{-i \frac{r\pi}{3}} + e^{i \frac{r\pi}{3}} = 2 \cos

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$13$

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(D) दिया गया है $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{-i \frac{\pi}{3}}$.अतः $z^r + \frac{1}{z^r} = e^{-i \frac{r\pi}{3}} + e^{i \frac{r\pi}{3}} = 2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}ight)$.हमें $S = 21 + \sum_{r=1}^{21} \left(2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}ight)ight)^3$ का मान ज्ञात करना है।सर्वसमिका $8 \cos^3 	heta = 2(\cos 3	heta + 3 \cos 	heta)$ का उपयोग करने पर:$S = 21 + \sum_{r=1}^{21} 2 \left(\cos(r\pi) + 3 \cos\left(\frac{r\pi}{3}ight)ight) = 21 + 2 \sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) + 6 \sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}ight)$.यहाँ $\sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) = -1$ और $\sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}ight) = -1$ है।अतः,$S = 21 + 2(-1) + 6(-1) = 21 - 2 - 6 = 13$.

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