ધારો કે f:[0, infty) rightarrow [0, infty) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) =

Vedclass · Accepted Answer

$f$ એ $[0, \infty)$ માં દરેક બિંદુએ સતત છે અને પૂર્ણાંક બિંદુઓ સિવાય વિકલનીય છે.

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{0}^{x} [y] \, dy$. $x \in [n, n+1)$ માટે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}_0$,આપણી પાસે $y \in [n, x)$ માટે $[y] = n$ છે. તેથી,$f(x) = \int_{0}^{1} 0 \, dy + \int_{1}^{2} 1 \, dy + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) \, dy + \int_{n}^{x} n \, dy$. $f(x) = 0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) + n(x-n) = \frac{(n-1)n}{2} + nx - n^2$. $n = [x]$ હોવાથી,$f(x) = \frac{[x]([x]-1)}{2} + [x](x-[x])$. કોઈપણ પૂર્ણાંક $x=n$ પર,ડાબી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^-} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ અને જમણી બાજુની લક્ષ $\lim_{x 	o n^+} f(x) = \frac{(n-1)n}{2} + n(n-n) = \frac{n(n-1)}{2}$ છે. લક્ષ સમાન હોવાથી,$f(x)$ એ તમામ $x \geq 0$ માટે સતત છે. જોકે,વિકલન $f'(x) = [x]$ એ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x 	o n^-} f'(x) = n-1$ અને $\lim_{x 	o n^+} f'(x) = n$. તેથી,$f$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી.

Similar Questions

જો $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\log(2+x) - x^{2n} \sin x}{1+x^{2n}} \right)$ હોય, તો $x=1$ આગળ $f(x)$ એ

જો વિધેય $f$ એ $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4 x}, & x \neq \frac{\pi}{4} \\ k, & x = \frac{\pi}{4} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સતત હોય,તો $k = $

વિધેય $f(x) = 2x^{2} - 1$ ની $x = 3$ આગળ સાતત્યતા ચકાસો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module