ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ e^{y} frac{d y}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. ધારો કે $e^{y}=t$,તેથી $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$. સમીક

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. ધારો કે $e^{y}=t$,તેથી $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$. સમીકરણ $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ બને છે. આ $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=-2 \sin x$ અને $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$. ઉકેલ $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ છે. ધારો કે $u = \cos x$,તેથી $du = -\sin x dx$. સંકલન $\int u^{2} e^{2u} du$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$. તેથી,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$. $x = \frac{\pi}{2}$ પર,$y = 0$,તેથી $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. આમ,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$. $x = 0$ પર,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$. $\alpha + \beta e^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{3}{4}$ મળે છે. તેથી,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + 3y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y > 0$.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જે બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module