ધારો કે f(x) એ અંતરાલ (0, infty) પર વિકલનીય છ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ પાડતા: $\lim _{t \rightarrow

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ પાડતા: $\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$. $t=x$ મૂકતા,આપણને $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$ મળે છે. પદોને ગોઠવતા: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$. ઉકેલ $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int -x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{3} + C = \frac{1}{3x^3} + C$ છે. આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$. $f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{3} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{2}{3}$. તેથી,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ $(x + 1)f'(x) - 2(x^2 + x)f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)}$ નું સમાધાન કરે છે. જો $f(0) = 5$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ નો ઉકેલ છે. જો $y(1) = 1$ હોય, તો $y(\sqrt{5})$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . . છે.

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module