मान लीजिए f(x) = min {1, 1 + x sin x } जहाँ 0 | vedclass

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Question

(B) हमें $f(x) = \min \{1, 1 + x \sin x \}$ दिया गया है।इसका अर्थ है कि $f(x) = 1$ जब $1 + x \sin x \geq 1$,अर्थात $x \sin x \geq 0$,और $f(x) = 1 + x

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$(1, 0)$

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(B) हमें $f(x) = \min \{1, 1 + x \sin x \}$ दिया गया है।इसका अर्थ है कि $f(x) = 1$ जब $1 + x \sin x \geq 1$,अर्थात $x \sin x \geq 0$,और $f(x) = 1 + x \sin x$ जब $x \sin x अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x \in [0, \pi]$ के लिए $x \sin x \geq 0$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $x \sin x अतः,$x \in [0, \pi]$ के लिए $f(x) = 1$ और $x \in (\pi, 2\pi]$ के लिए $f(x) = 1 + x \sin x$ है।$x = \pi$ पर,$f(\pi) = 1$ है। बायाँ सीमा $\lim_{x 	o \pi^-} f(x) = 1$ और दायाँ सीमा $\lim_{x 	o \pi^+} f(x) = 1 + \pi \sin(\pi) = 1$ है।चूँकि सीमाएँ समान हैं,$f(x)$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $n = 0$ है।अब,$x = \pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:$x $x > \pi$ के लिए,$f'(x) = \sin x + x \cos x$ है। जैसे $x 	o \pi^+$,$f'(x) 	o \sin(\pi) + \pi \cos(\pi) = 0 + \pi(-1) = -\pi$ है।चूँकि बायाँ अवकलज $(0)$ दाएँ अवकलज $(-\pi)$ के बराबर नहीं है,फलन $x = \pi$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,$m = 1$ है।क्रमित युग्म $(m, n) = (1, 0)$ है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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